Combinatorial approaches to coherence of plactic monoids with crystals and Yamanouchi trees

Approches combinatoires à la cohérence des monoïdes plaxiques via les cristaux et arbres de Yamanouchi Les monoïdes plaxiques sont des objets qui décrivent la théorie des représentations des algèbres de Lie semisimples complexes de dimension finie. Dans ce contexte, les monoïdes plaxiques admettent une réalisation via l’approche cristalline, et il existe une notion d’éléments de plus haut poids du monoïde. Une autre approche pour réaliser les monoïdes plaxiques est celle par des présentations convergentes finies par générateurs et relations, appelées présentations en colonnes. Cette approche ouvre une direction d’étude des monoïdes plaxiques via la théorie de la réécriture. Dans cette thèse, nous étudions l’interaction entre ces deux approches, et nous prouvons que l’étude des monoïdes plaxiques via la théorie de la réécriture peut effectivement être réduite à son étude aux éléments de plus haut poids. Plus précisément, nous introduisons les notions de graphes, de monoïdes, et de polygraphes cristallins, qui sont particulièrement adaptés au monde des monoïdes plaxiques. Nous prouvons ensuite que pour certains cristaux propres, c’est-à-dire ceux qui contiennent tous les éléments de plus haut poids, la vérification de propriétés de rééciture telles que la terminaison et la confluence d’un polygraphe donné se réduit à leur vérification aux éléments de plus haut poids. Cela conduit à des versions cristallines du lemme de Newman, du lemme des paires critiques, et du théorème de cohérence de Squier. Expliciter l’extension cohérente d’un polygraphe propre cristallin convergent revient à certains calculs de règles de réécriture sur les éléments de plus haut poids. Nous introduisons ensuite une version quadratique de la présentation en colonnes des monoïdes plaxiques dans les types A, B, C, D, et montrons qu’elle est un polygraphe cristallin convergent fini. De plus, on peut étudier la présentation en colonnes et sa version quadratique simultanément, car elles sont fortement liées − néanmoins la version quadratique a un avantage du fait que sa combinatoire est plus maniable. Nous introduisons ensuite des outils combinatoires dans les types A et C, appelés arbres de Yamanouchi, qui paramètrent les éléments de plus haut poids dans la présentation quadratique en colonnes, et facilitent le calcul de certaines règles de réécriture. Enfin, via le théorème de Squier cristallin, et des calculs via les arbres de Yamanouchi, nous concluons que la base d’homotopie de les présentation cohérente des monoïdes plaxiques de type A, respectivement de type C, est constituée de cellules de la forme (3,3), respectivement (4,3).