Study of the Bloch-Torrey equation associated to diffusion magnetic resonance imaging

Étude de l’équation de Bloch-Torrey associée à l’Imagerie de Résonance Magnétique Nucléaire pondérée par diffusion L'imagerie de résonance magnétique nucléaire pondérée par diffusion (dMRI) est une technique expérimentale qui a pour but d'indentifier les propriétés microstructurales d'un échantillon bien en-dessous de la résolution conventionnelle de l'IRM "classique''. Bien que cette technique ait été introduite et appliquée dans divers contextes depuis plusieurs décennies, de nombreux éléments théoriques restent à élucider, et ce d'autant plus avec l'amélioration constante des appareils d'imagerie et des techniques expérimentales. Notablement, les mécanismes de formation du signal d'IRM aux forts gradients sont encore largement incompris, malgré une tendance ``naturelle'' à l'augmentation des gradients pour sonder des échelles structurales de plus en plus fines.Nous revisitons dans un premier temps les effets d'anisotropie géométrique. Tandis que l'anisotropie aux échelles micro- et macroscopiques a été l'objet de beaucoup d'attention ces dernières années, l'échelle intermédiaire, ``mésoscopique'', n'avait pas encore été étudiée systématiquement. Nous avons obtenu une généralisation de la formule de Mitra qui permet d'améliorer significativement l'estimation du rapport surface-volume de domaines arbitraires quelle que soit la séquence de gradient utilisée.Dans un second temps, nous étudions les effets de perméabilité, qui sont cruciaux pour les applications biomédicales. Nous proposons une analyse critique de trois modèles classiques de l'effet de l'échange sur le signal d'IRM de diffusion. De plus, nous formulons une méthode numérique et théorique générale et flexible pour étudier la diffusion à travers plusieurs membranes perméables parallèles.Le dernier chapitre constitue le cœur de la thèse et aborde l'étude non-perturbative de l'équation de Bloch-Torrey qui régit l'évolution du signal d'IRM de diffusion. Aux forts gradients, nous montrons théoriquement, numériquement, et expérimentalement l'universalité du phénomène de localisation, qui ouvre des perspectives prometteuses pour augmenter la sensibilité du signal d'IRM à la microstructure.