Quantitative stochastic homogenization beyond elliptic equations

Homogénéisation quantitative de milieux aléatoires : environnements dégénérés et modèle d’interface Cette thèse est consacrée à l’homogénéisation stochastique, qui cherche à étudier le comportement d’équations aux dérivées partielles présentant des coefficients aléatoires oscillant rapidement. Elle est divisée en trois parties. La première partie correspond aux Chapitres 2 et 3 et cherche à étendre la théorie de l’homogénéisation stochastique quantitative, développée sous une hypothèse d’uniforme ellipticité, au contexte dégénéré de la percolation de Bernoulli sur-critique. Nous obtenons dans le Chapitre 2, un théorème d’homogénéisation quantitative ainsi qu’une théorie de la régularité à grande échelle pour les fonctions harmoniques sur l’amas infini. Dans le Chapitre 3, nous obtenons des estimées spatiales optimales en toute dimension pour le correcteur sur l’amas infini. Dans le Chapitre 4, nous étudions un autre type d’environnement dégénéré impliquant des formes différentielles et démontrons, dans ce contexte, un théorème d’homogénéisation quantitative. Dans le Chapitre 5, nous appliquons les idées de l’homogénéisation stochastique à un modèle issu de la physique statistique : le modèle de Ginzburg-Landau discret. Nous revisitons le début de la théorie de l’homogénéisation et la combinons avec des arguments de la théorie du transport optimal afin de démontrer un théorème de convergence quantitative pour la tension de surface du modèle.