Caractérisation des automorphismes CR d'une classe d'hypersurfaces dans C⁴

Cette thèse de doctorat s’intéresse au groupe de stabilité, Aut(Mg), qui est l’ensemble des automorphismes (ou biholomorphismes fixant un point) d’une hypersurface réelle et continue Mg. Pour étudier Aut(Mg), il s’avère suffisant de classifier l’ensemble des automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR, hol(M), d’une hypersurface, M, plus simple, polynomiale, homogène et modèle. M est associée à Mg dans le sens que son équation définissante n’est constituée que des premiers termes du développement de Taylor de celle qui définit Mg. Certains résultats généraux, dans Cn+1, existent ; des résultats plus précis existent dans C3 ; et, nous apportons dans ce travail des résultats pour C4. Les hypersurfaces qu’il s’avère pertinent d’étudier sont réelles, holomorphiquement non dégénérées, de type fini et Levi dégénérées. Le chapitre 1 présente les notions élémentaires, une problématique ainsi que l’ensemble des résultats principaux. Le chapitre 2 traite du cadre général, dans Cn+1. Inspiré de « Chern-Moser operators and polynomial models in CR geometry », ce chapitre présente la description complète de la démarche générale qui a pour outil l’opérateur de Chern-Moser, appuyée par des précisions ainsi que des exemples. Le but du chapitre 3 est double. D’une part, il est à considérer comme tremplin avant la généralisation dans C4 et dans ce sens, il reformule les résultats de « Infinitesimal CR automorphisms for a class of polynomial models » et offre une description des automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR d’une hypersurface homogène et modèle de C3, M, décrite par l’équation Imw = PQ + QP, où (z,w) = (z1, z2,w) 2 C3, et P et Q sont des polynômes en z. D’autre part, ce chapitre apporte plusieurs précisions importantes pour ce cas, notamment concernant la décomposition des rotations. Le chapitre 4 présente les nouvelles contributions concernant une hypersurface homogène M de C4 décrite par Imw = PQ + QP + RR, où (z,w) = (z1, z2, z3,w) 2 C4, et P, Q et R sont à nouveau des polynômes en z. Ce cas est appelé problème PQR. Un cas modèle est à considérer comme une introduction, un cas découplé (pour lequel une variable est strictement réservée à R) donne des résultats intéressants, mais c’est surtout le cas général, tou- tefois monomial, qui semble important : le théorème qui décrit une décomposition des rotations s’avère être le résultat le plus important, mais la dimension de l’ensemble de tous les automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR de l’hypersurface est détaillée. Le chapitre 5 ouvre la porte aux perspectives nouvelles et propose de nouvelles pistes, tout en rappelant le lien fondamental entre M et Mg, entre les automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR décrits de l’hypersurface modèle et les automorphismes de l’hypersurface générale.