Σύνολα Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας και Birkhoff-James συνημίτονο

Στην παρούσα Διδακτορική Διατριβή μελετάμε το σύνολο Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας του διανύσματος χ ως προς το διάνυσμα ψ, σε ένα μιγαδικό γραμμικό χώρο με νόρμα. Το σύνολο αυτό αποτελεί γενίκευση του γνωστού αριθμητικού πεδίου πινάκων και τελεστών. Αρχικά, αποδεικνύεται ένας ισοδύναμος εναλλακτικός ορισμός με χρήση γραμμικών συναρτησιακών και ερευνάται η πλούσια δομή του ως άνω συνόλου. Ο νέος αυτός ορισμός οδηγεί σε βασικές ιδιότητες, μεταξύ των οποίων και η υποπροσθετικότητα του συνόλου Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας ως προς το διάνυσμα χ.Επίσης, εισάγουμε και διερευνούμε το Birkhoff-James συνημίτονο της κυρτής γωνίας, που σχηματίζεται από δύο μη μηδενικά διανύσματα ενός μιγαδικού γραμμικού χώρου με νόρμα, το οποίο βρίσκεται σε άμεση σύνδεση με το σύνολο Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας. Το συνημίτονο αυτό μελετάται και για φραγμένους γραμμικούς τελεστές, ενώ παρουσιάζονται κάποιοι χαρακτηρισμοί των φραγμένων γραμμικών τελεστών για την Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητα, στην προσπάθεια επέκτασης του γνωστού Θεωρήματος Bhatia-Semrl σε απειροδιάστατους μιγαδικούς γραμμικούς χώρους με νόρμα.Τέλος, εισάγουμε το σύνολο Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας για διανυσματικά πολυώνυμα μιας μιγαδικής μεταβλητής και διερευνούμε τις γεωμετρικές και τοπολογικές ιδιότητες του συνόλου αυτού στο μιγαδικό επίπεδο. Επιπλέον, μελετάμε το πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών του συνόλου, χαρακτηρίζουμε το σύνορό του και διερευνούμε την τοπική διάσταση των σημείων του.