Approximation de fonctions différentiables sur certains espaces de Banach

Soit E un espace de Banach séparable de dimension infinie ; le sujet de cette étude est l’approximation de fonctions de classe C k définies sur un ouvert Ω de E à valeurs dans un espace de Banach F par des fonctions de classe C ∞ . Le principal résultat est : si E est un espace de Hilbert, l’ensemble des applications de classe C ∞ de Ω dans F est dense dans l’ensemble des applications de classe C 2k-1 muni de la C k topologie fine. Comme corollaire, on montre que l’étude des variétés hilbertiennes de classe C k se ramène à celles des variétés de classe C ∞ .Enfin, on montre que l’ensemble des fonctions de Sard de classe C ∞ est dense dans l’ensemble des applications de classe C 1 muni de la C 1 topologie fine. (Une application est dite de Sard si le complémentaire de l’ensemble des valeurs critiques est intersection dénombrable d’ouverts denses.) On en déduit comme corollaires des théorèmes de transversalité.