О МАТРИЦАХ С КОКВАДРАТОМ JK(1) ⊕ JL(1)

Рассматривается задача о рациональных способах проверки конгруэнтности комплексных матриц. При этом рациональными считаются конечные алгоритмы, использующие только арифметические операции. Важную роль в проверке конгруэнтности невырожденных матриц играют их коквадраты. Проверка осложняется, если в спектре коквадратов присутствуют унимодулярные собственные значения, и особенно, если такие собственные значения дефектны. Наиболее продвинутым результатом в этом направлении является рациональный алгоритм для матриц A и B, имеющих коквадратом прямую сумму Jm (1) ⊕ Jm (1) . В данной статье этот алгоритм переносится на случай, когда коквадрат есть прямая сумма двух жордановых клеток различных порядков. Этот перенос существенно опирается на установленные в статье дополнительные факты относительно решений матричного уравнения X - JΤm(1) XJm(1) = 0. Rational techniques for verifying the congruence of complex matrices are discussed. An algorithm is said to be rational if it is finite and uses only arithmetical operations. An important part in verifying the congruence of nonsingular matrices play their cosquares. The verification gets complicated if there are eigenvalues of modulus 1 in the spectrum of cosquares; this is especially true if such eigenvalues are defective. In this direction, the most advanced result is the rational algorithm for matrices A and B whose cosquare is the direct sum Jm (1) ⊕ Jm (1). Here, this algorithm is extended to the case where the cosquare is the direct sum of two Jordan blocks of distinct orders. This extension is heavily dependent on additional facts concerning the solutions to the matrix equation X - JΤm(1)XJm(1) = 0. found in the present paper.