Vertex-disjoint path covers in graphs

Seja G um grafo conexo e P um conjunto de caminhos disjuntos nos vértices em G. Dizemos que P é uma cobertura por caminhos se cada vértice de G pertence a algum caminho em P. No problema da cobertura mínima por caminhos, o objetivo é encontrar uma cobertura com o menor número de caminhos. Nesse problema, que é sabido ser NP-difícil, o conjunto P pode conter caminhos triviais. Estudamos uma variante desse problema onde o objetivo é encontrar uma cobertura sem caminhos triviais. Usando a decomposição de Edmonds-Gallai, mostramos que o problema de decidir se um grafo tem tal cobertura pode ser reduzido a um problema de emparelhamento em um grafo bipartido. Além disso, mostramos resultados de inaproximabilidade para ambos os problemas de cobertura: com e sem caminhos triviais.