Entropie et classification en dynamique

Cet exposé présente quelques aspects de la théorie des systèmes dynamiques topologiques ou différentiables munis de l’ensemble de leurs mesures invariantes - ce qu’on pourrait qualifier de façon un peu provocatrice de théorie ergodique sans mesure distinguée. Nous expliquons comment les entropies topologiques et de Kolmogorov-Sinaï structurent l’ensemble des mesures invariantes et distinguent des mesures maximisant l’entropie. En fait, pour les difféomorphismes de surfaces, le nombre et le type de ces mesures suffisent à décrire une large part de la dynamique.Dans un travail récent avec Sylvain Crovisier et Omri Sarig (2022), nous avons démontré une conjecture de Newhouse (1990) et analysé ces mesures dans le cas des difféomorphismes lisses et bi-dimensionnels. Ces résultats ont pour corollaire une classification des difféomorphismes C ∞ de surfaces compactes et d’entropie non nulle. En conclusion, nous indiquons quelques perspectives et travaux en cours.