Complete Arcs in a Projective Plane Over Galois Field

يدور البحث حول الأقواس الكاملة في المستوى الإسقاطي فوق حقل جالوا. A(k,n)-arc في PG(2,p) عبارة عن مجموعة من النقاط k التي لا يوجد فيها n+1 على خط واحد. A(k, 2)- يسمى القوس k-arc وهو عبارة عن مجموعة من النقاط k حيث لا توجد ثلاث منها على خط واحد. يكون القوس k مكتملاً إذا لم يكن موجودًا في القوس (k-1). الحد الأقصى لعدد النقاط التي يمكن أن يحتوي عليها قوس k هو (p+1) فردي أو (p+2) لـ p زوجي. وk-arc بهذا العدد من النقاط هو شكل بيضاوي. أظهر هيرشفيلد، 1979[4] بناء وتصنيف k-arc فوق حقل جالوا بـ p≥ 9، وأعطى رانيا، 1997[7] بناء وتصنيف k-arc في PG(2,11) على G(11) ). الهدف من هذا البحث هو إيجاد طريقة لإضافة نقطة إلى قوس k في المستوى الإسقاطي PG(2, p) على المجال G(p) مع p عدد فردي بحيث يبقي k-arc عرضة لإضافة المزيد من النقاط حتى نحصل على أقصى قوس كامل وهو بيضاوي. لقد وجدنا أنه في البداية بالقوس 4، يمكننا بعد ذلك إضافة أي نقطة من المؤشر صفر. اختيار النقطة الخامسة يحدد طريقة اختيار النقاط الأخرى، لأن 4 قوس مع الخامسة يمثلان شكلاً مخروطياً. لكي يتم اختيار النقطة السادسة بنجاح يجب أن تحقق المعادلة المخروطية. لقد وجدنا مخروطات p+1 منها p-2 غير متحللة في PG(2, p)، وبالتالي p-2 أقواس كاملة (بيضاوية) من خلال أي قوس 4 بالتأكيد يوجد مخروط واحد فقط يحتوي على أي 5 قوس.