Floer homology and symplectic reduction

Homologie de Floer et réduction symplectique Dans cette thèse, nous explorons des aspects divers de la théorie de Floer Lagrangienne équivariante. Étant donnée une variété symplectique munie d'une action Hamiltonienne d'un groupe G, la théorie de Floer Lagrangienne équivariante associe à une paire de Lagrangiennes G-invariantes des groupes de (co)homologie qui sont, en quelque sens, une déformation quantique de la (co)homologie équivariante classique (Borel). Le premier résultat de cette thèse est un isomorphisme de Cartan, qui relie l'homologie équivariante d'une paire de Lagrangiennes à l'homologie de Floer usuelle de leur réduction de Marsden-Weinstein, si l'action de G sur le niveau zéro est libre. Le deuxième résultat concerne des phénomènes de rigidité pour les Lagrangiennes S¹-invariantes de certaines variétés de Liouville. Plus précisément, on montre que si leur cohomologie S¹-équivariante est non nulle, alors la cohomologie ℤ₂-équivariante l'est aussi. Plus généralement, on relie les deux cohomologies de manière analogue au cas classique.