Generalized Natural Density DF⁡(Fk) of Fibonacci Word

This paper explores profound generalizations of the Fibonacci sequence, delving into random Fibonacci sequences, k-Fibonacci words, and their combinatorial properties. We established that the nth root of the absolute value of terms in a random Fibonacci sequence converges to 1.13198824 . . ., with subsequent refinements by Rittaud yielding a limit of approximately 1.20556943 for the expected value’s n-th root. Novel definitions, such as the natural density of sets of positive integers and the limiting density of Fibonacci sequences modulo powers of primes, provide a robust framework for our analysis. We introduce the concept of k-Fibonacci words, extending classical Fibonacci words to higher dimensions, and investigate their patterns alongside sequences like the Thue-Morse and Sturmian words. Our main results include a unique representation theorem for real numbers using Fibonacci numbers, a symmetry identity for sums involving Fibonacci words, $\sum_{k=1}^{b} \dfrac{(-1)^k F_a}{F_k F_{k+a}}= \sum_{k=1}^{a} \dfrac{(-1)^k F_b}{F_k F_{k+b}}$, and an infinite series identity linking Fibonacci terms to the golden ratio. These findings underscore the intricate interplay between number theory and combinatorics, illuminating the rich structure of Fibonacci-related sequences. В данной статье рассматриваются глубокие обобщения последовательности Фибоначчи, включая случайные последовательности Фибоначчи, k-слова Фибоначчи и их комбинаторные свойства. Мы установили, что корень n-й степени из абсолютного значения членов случайной последовательности Фибоначчи сходится к 1.13198824 . . ., с последующими уточнениями Ритто, дающими предел приблизительно 1.20556943 для корня n-й степени ожидаемого значения. Новые определения, такие как естественная плотность множеств положительных целых чисел и предельная плотность последовательностей Фибоначчи по модулю степеней простых чисел, обеспечивают надежную основу для нашего анализа. Мы вводим концепцию k-слов Фибоначчи, расширяя классические слова Фибоначчи до более высоких измерений, и исследуем их закономерности наряду с последовательностями, такими как слова Туэ-Морса и Штурма. Наши основные результаты включают теорему об уникальном представлении действительных чисел с помощью чисел Фибоначчи, тождество симметрии для сумм, содержащих слова Фибоначчи, $\sum_{k=1}^{b} \dfrac{(-1)^k F_a}{F_k F_{k+a}}= \sum_{k=1}^{a} \dfrac{(-1)^k F_b}{F_k F_{k+b}}$​​, и тождество бесконечного ряда, связывающее члены Фибоначчи с золотым сечением. Эти результаты подчёркивают сложную взаимосвязь теории чисел и комбинаторики, проливая свет на богатую структуру последовательностей, связанных с числами Фибоначчи.