Crowd modeling through the theory of non-smooth dynamics of solids

Modélisation du mouvement d'une foule via la théorie de la dynamique non régulière des solides Ce travail concerne la modélisation du mouvement des piétons via l’approche non régulière du contact dynamique des solides rigides et déformables. Une reformulation de cette approche est proposée en accord avec le formalisme de M.Frémond et celui de J.J.Moreau. L’approche proposée est basée sur la notion de percussion qui est l’intégrale de la force de contact au cours de la durée de la collision. Contrairement aux modèles classiques d’éléments discrets, il est supposé que les percussions ne peuvent être exprimées qu’en fonction de la vitesse avant l’impact. Cette hypothèse est vérifiée pour des lois de comportement classiques de la collision. Les équations de mouvement sont ensuite reformulées en tenant compte de multiples collisions simultanées. L’existence et l’unicité de la solution du nouveau modèle sont discutées en fonction de la régularité des forces (densité de Lebesgue apparaissant au cours de l’évolution régulière du système) et la régularité des percussions (Dirac-densité décrivant la collision). A la lumière des principes de la thermodynamique, une condition sur la percussion interne assurant que la collision est thermodynamiquement admissible, est établi. L’application aux collisions de disques rigides et à l’écoulement dans un sablier en forme d'entonnoir est présentée. L’approche est étendue au mouvement de la foule, en effet ; la circulation des piétons à travers les goulets d’étranglement est étudiée. Une analyse de sensibilité est effectuée pour étudier l’effet des paramètres d’un modèle de mouvement de foule discret 2D sur la nature des collisions et des temps d’évacuation des piétons. Nous avons identifié les paramètres qui régissent une collision de type piéton-piéton et étudié leurs effets sur le temps d'évacuation. Puis une expérience d’évacuation d’une salle avec une sortie de goulot d’étranglement est introduite et sa configuration est utilisée pour les simulations numériques. La question de l’estimation des forces de contact et de la pression générée dans une foule en mouvement est abordée à la fois d’un point de vue discret (un piéton est assimilé à un disque rigide) et continue (la foule est considérée comme un solide déformable). Une comparaison entre le modèle microscopique du second ordre (modèle discret 2D) et l’approche continue est présentée. Les forces de contact sont rigoureusement définies en tenant compte des contacts multiples et simultanés et le non chevauchement entre piétons. Nous montrons que pour une foule dense les percussions (saut de la quantité de mouvement correspondant au contact instantané) deviennent des forces de contact. Pour l’approche continue, la pression est calculée en fonction des contraintes volumiques et surfaciques. Et tenant compte les interactions non locales entre les piétons. Afin de rendre l’approche plus efficace, nous avons modélisé chaque piéton par un solide déformable, le cas unidimensionnel est étudié, une comparaison avec le cas discret est présentée pour un exemple d’écrasement d’une chaîne de piétons dans un obstacle fixe. La solution analytique des équations de contact est développée ce qui permet une calibration de paramètres du modèle et une étude asymptotique des solutions. La théorie non-régulière de la dynamique de solides déformables permet de calculer la vitesse réelle de la foule en tant qu’un milieu continu en tenant compte des interactions avec l’environnement et de la vitesse souhaitée. Une représentation macroscopique donnée par un problème couplé d’équations hyperbolique et elliptique. Une équation hyperbolique décrivant l’évolution de la densité de la foule dont la vitesse est calculée une équation elliptique, celle de l’évolution d’un solide déformable. Un résultat d’existence et unicité est développé concernant l’existence et l’unicité de la solution du problème couplé et la stabilité par rapport à la condition initiale et les conditions aux limites