Chaotic dynamics of spatially homogeneous spacetimes

Dynamique chaotique des espaces-temps spatialement homogènes En 1963, Belinsky, Khalatnikov et Lifshitz ont proposé une description conjecturale de la géométrie asymptotique des modèles cosmologiques au voisinage de leur singularité initiale. En particulier, il y est avancé que la géométrie asymptotique des espaces-temps spatialement homogènes « génériques » devrait avoir un comportement oscillatoire chaotique modelé sur la dynamique d’une application discrète : l’application de Kasner. Nous démontrons que cette conjecture est vraie au moins pour un ensemble d’espaces-temps de mesure de Lebesgue strictement positive. Dans le contexte des espaces-temps spatialement homogènes, l’équation d’Einstein de la relativité générale se réduit à un système d’équations différentielles sur un espace des phases de dimension finie : les équations de Wainwright-Hsu. La dynamique de ces équations encode l’évolution de la géométrie des hypersurfaces spatiales dans les espaces-temps spatialement homogènes. Notre preuve est basée sur l’hyperbolicité non-uniforme des équations de Wainwright-Hsu. Nous considérons l’application de Poincaré associée aux solutions de ces équations sur une section transverse au flot et nous démontrons qu’il s’agit d’une application non-uniformément hyperbolique avec singularités. Ceci nous permet de construire des variétés stables locales « à la Pesin » pour cette application et de montrer que la réunion des orbites passant par ces variétés stables locales recouvre une partie de l’espace des phases de mesure de Lebesgue strictement positive. Le comportement oscillatoire chaotique des espaces-temps correspondant à ces orbites est une conséquence de cette construction. Du point de vue des systèmes dynamiques, les équations de Wainwright-Hsu se révèlent être très riches et posent un certain nombre de défis. Pour comprendre le comportement asymptotique d’un nombre conséquent de solutions de ces équations, nous serons amenés à : • faire une analyse fine de la dynamique locale d’un champ de vecteurs au voisinage d’une singularité partiellement hyperbolique dégénérée et non linéarisable, • travailler avec des applications non-uniformément hyperboliques ayant des singularités, pour lesquelles la théorie usuelle (due à Pesin et Katok-Strelcyn) ne s’applique pas à cause de la faible régularité de ces applications, • considérer des conditions arithmétiques exotiques exprimées en termes de fractions continues et utiliser des propriétés ergodiques quelque peu sophistiquées de l’application de Gauss pour montrer que ces propriétés sont génériques, etc.