Classification of dynamical filtrations and positive entropy systems

Classification des filtrations dynamiques et étude des systèmes d'entropie positive Dans cette thèse, nous explorons les structures possibles des systèmes dynamiquesde la forme X := (X;A ; µ ; T) et leurs tribus facteur B ꓚ A .Les deux premiers chapitres étudient les différentes façons dont une tribu facteurB peut s’inclure dans un système dynamique X := (X;A ; µ ; T), c’est-à direque nous étudions certaines structures possibles de l’extension A→ B.Dans le premier chapitre, nous considérons les concepts de super-innovations etde standardité des extensions, inspirés de la théorie des filtrations. Un point importantest l’introduction de la notion d’extensions confinées, qui nous intéressentparce qu’elles n’ont pas de super-innovation. Nous donnons plusieurs exempleset étudions des propriétés supplémentaires de ces extensions, y compris des résultatsde relèvement. Ensuite, nous montrons notre résultat principal : l’existenced’extensions non-standard. Enfin, ce résultat trouve une application dans l’étudedes filtrations dynamiques, qui sont les filtrations de la forme (Fn)n≤0 telles quechaque Fn est une tribu facteur. Nous montrons qu’il existe des filtrations dynamiquesI-confortables non standard.Le deuxième chapitre approfondit l’étude des extensions confinées en trouvantun nouveau type de telles extensions, dans le cadre des suspensions de Poisson :nous prenons un système dynamique (X; ; µ ; T) en mesure _-finie infinie et uneextension compacte (X x G; µ x mG; Tδ), puis nous considérons l’extension dePoisson correspondante ((X x G)*; (µ x mG)*_; (T'δ)*) → (X*; µ *; T*). Nousdonnons des conditions sous lesquelles cette extension est confinée et construisonsun exemple qui correspond à ces conditions.Enfin, le troisième chapitre se concentre sur une famille de filtrations dynamiques: les filtrations de Pinsker faible. L’existence de ces filtrations sur toutsystème ergodique provient d’un résultat récent d’Austin [4], et elles se présententcomme un outil potentiel pour décrire les systèmes à entropie positive. Nousexplorons les liens entre la structure asymptotique des filtrations de Pinsker faibleet les propriétés du système dynamique sous-jacent. Naturellement, nous demandonsaussi si, sur un système donné, la structure des filtrations de Pinsker faible estunique à isomorphisme près. Nous donnons une réponse partielle, dans le cas oùle système sous-jacent est un schéma de Bernoulli. Nous concluons notre travailen donnant deux exemples explicites de filtrations de Pinsker faible.