Additive versus monoidal categorification of cluster algebras

Catégorifications additive et monoïdale d'algèbres amassées En 2021, Kashiwara-Kim-Oh-Park ont construit des structures d'algèbres amassées sur les anneaux de Grothendieck de certaines sous-catégories monoïdales de la catégorie des représentations de dimension finie d'une algèbre de lacets quantique, généralisant le travail pionnier d'Hernandez-Leclerc de 2010. Ils ont soulevé le problème de trouver des carquois explicites pour les graines qu'ils utilisaient. Nous apportons une solution en utilisant la règle de mutation généralisée de Palu appliquée aux catégories amassées associées à certaines algèbres de dimension globale au plus 2, par exemple des produits tensoriels d'algèbres de chemins de carquois de représentation finie. Ainsi, notre méthode est basée sur (et contribue à) le lien, fourni par la combinatoire des algèbres amassées, entre la théorie des représentations des groupes quantiques et celle des carquois avec relations. Poursuivant cette thématique, en utilisant l'isomorphisme d'Hernandez--Leclerc entre l'algèbre de Hall dérivée d'un carquois de type fini Q et l'anneau de Grothendieck quantique de l'algèbre de lacets quantique du type de Dynkin de Q, nous relevons la structure d'algèbre amassée (quantique) de l'anneau de Grothendieck quantique à l'algèbre de Hall semi-dérivée, introduite par Gorsky, de la catégorie des complexes bornés de modules projectifs sur l'algèbre des chemins de Q. Enfin, nous construisons une action du groupe des tresses sur l'algèbre de Hall semi-dérivée, relevant l'action du groupe des tresses de Kashiwara-Kim-Oh-Park sur l'anneau de Grothendieck quantique.