Heat content asymptotics in sub-Riemannian geometry

Asymptotiques en temps petit du contenu thermique en géométrie sous-riemannienne La géométrie sous-riemannienne est une classe particulièrement riche de structures métriques, qui généralise la géométrie riemannienne. Une structure sous-riemannienne sur une variété lisse M est définie par un couple (D,g), où g est un produit scalaire lisse défini sur un sous-ensemble de directions admissibles, qui est appelée distribution, et doit satisfaire la condition de Hörmander. Dans ce cas, M est connexe par des courbes horizontales, et la procédure habituelle de minimisation de la longueur donne une métrique bien définie. L'opérateur de Laplace-Beltrami est généralisé par le sous-Laplacien qui est sub-elliptique, mais possède néanmoins des propriétés de régularité appropriées (en particulier, il est hypoelliptique). Dans cette thèse, nous étudions l'asymptotique du contenu thermique et des sujets connexes en géométrie sous-riemannienne.Pour un ensemble ouvert et relativement compact dans M, le contenu thermique est défini comme la quantité totale de chaleur contenue dans l'ensemble au temps t, en supposant que son bord est maintenu à température nulle. Dans le groupe de Heisenberg, qui est l'exemple le plus simple de structure sous-riemannienne, Tyson et Wang ont étudié le comportement à petit temps de cette quantité, prouvant l'existence d'une expansion asymptotique jusqu'à l'ordre 2 en racine carrée de t. Ici, en utilisant une approche différente, nous montrons l'existence d'une expansion asymptotique complète du contenu thermique dans toute variété sous-riemannienne, fournissant également un algorithme pour calculer ses coefficients à tout ordre. Comme dans le cas riemannien, le comportement en temps petit du contenu thermique contient des informations géométriques sur le bord de l'ensemble.Une hypothèse cruciale sur l'ensemble pour développer une expansion asymptotique complète du contenu thermique est l'absence de points caractéristiques. En gros, un point caractéristique est un point de la frontière du domaine (que l'on suppose être un sous-variété lisse de M) où la fonction de distance de la frontière elle-même perd sa régularité. Nous montrons que, si des points caractéristiques sont présents, un nouveau phénomène se produit dans l'expansion asymptotique du contenu thermique. En particulier, l'asymptotique établie en absence de points caractéristiques ne peut plus être vrai à un ordre égal ou supérieur à 5, en général.Ensuite, nous étudions la courbure moyenne horizontale du bord lorsque des points caractéristiques sont présents. Dans le cas du groupe de Heisenberg, nous introduisons la notion de point caractéristique modérément dégénéré, prouvant de nouveaux résultats d'intégrabilité pour la courbure moyenne horizontale des surfaces. Ce résultat, dans le cas de surfaces analytiques dans le groupe de Heisenberg, répond affirmativement à une conjecture formulée par Danielli, Garofalo et Nhieu.Enfin, nous étudions le contenu thermique relatif. Pour un ensemble ouvert et relativement compact dans M, le contenu thermique relatif est défini comme la quantité totale de chaleur contenue dans l'ensemble au temps t, en permettant la chaleur de se propager à l'extérieur du domaine. Des difficultés importantes apparaissent par rapport au contenu thermique ``classique'', car cette fois-ci le comportement au bord de la fonction de température n'est plus connu. Nous utilisons un argument de symétrie ``asymptotique'' de la chaleur pour obtenir des informations sur le comportement en temps petit de la température à la frontière de l'ensemble et nous obtenons une expansion asymptotique à ordre 4 en racine carrée de t.