Schwarz methods and boundary integral equations

Méthodes de Schwarz et équations intégrales de frontière L'objectif de cette thèse est d'utiliser des méthodes de décomposition de domaine pour mettre au point de nouvelles méthodes pour le calcul haute performance et les équations intégrales de frontière. Dans le cas des équations intégrales de frontière, on peut penser à deux approches de décomposition de domaine. Nous pouvons faire une décomposition du domaine où la solution est recherchée, une décomposition volumique, puis formuler une équation intégrale de frontière dans chaque sous-domaine en les couplant. Ou nous pouvons d'abord établir une équation intégrale de frontière et ensuite appliquer une décomposition de domaine à la frontière, une décomposition surfacique. Dans la première approche, nous montrons que la variante locale de la formulation multi-trace, naturellement bien adaptée à la parallélisation, possède des propriétés de convergence optimales dans le cas de coefficients constants dans tout le domaine pour une géométrie sans points de jonction. Cette propriété est similaire à la convergence de la méthode optimale de Schwarz, et nous prouvons en réalité une équivalence entre ces deux méthodes. Des tests numériques sont fournis pour illustrer la propriété de convergence et montrer les potentialités et les limites de cette approche lorsque les coefficients sont constants par morceaux au lieu de constants dans l'ensemble du domaine. Dans la deuxième approche, nous présentons comment nous utilisons le cadre du lemme de l'espace fictif et l'approche de l'espace grossier GenEO (Generalized Eigenproblems in the Overlap) pour définir plusieurs préconditionneurs à deux niveaux pour l'opérateur hypersingulier associé à toute équation symétrique et définie positive. Des expériences numériques sont fournies pour montrer leur extensibilité en termes d'itérations avec la méthode du gradient conjugué et GMRes. Pour pouvoir utiliser les préconditionneurs de Schwarz et la méthode des éléments finis de frontière, nous devons également adapter une méthode de compression à un environnement parallèle à mémoire distribuée. Cela nous a conduit à implémenter une bibliothèque C++ pour les matrices hiérarchiques parallélisée en utilisant MPI et OpenMP.