Homogeneous Sobolev and Besov spaces on half-spaces

Espaces de Sobolev et Besov homogènes sur des demi-espaces Cette thèse s'attèle principalement au problème de réalisation des espaces de Besov et Sobolev homogènes sur l'espace entier, et certains demi-espaces. Ce problème de réalisation des espaces de fonctions apparaît naturellement lors de l'étude du caractère bien posé global en temps et des problèmes de régularité de certaines équations paraboliques dans les domaines non-bornés. Les constructions proposées dans cette thèse étendent celles initiées par Bahouri, Chemin, Danchin, Hieber, Mucha et Tolksdorf au cours de différents articles et monographies.On passera en revue principalement les résultats de densité, d'interpolation réelle et complexe, ainsi que les résultats de trace sur le bord. Une difficulté majeure vient du fait que certains des espaces vectoriel normés considérés ne peuvent pas être complets, ni complétés au risque de ne plus être constitués d'éléments identifiables à des distributions.Le manque de complétude pour certains espaces requiert alors une nouvelle construction des outils afin de pouvoir exploiter la théorie des opérateurs et en particulier la régularité maximale globale en temps dans les espaces de Lebesgue. Une reconstruction de la théorie de l'interpolation et des opérateurs homogènes a été effectuée par Danchin, Hieber, Mucha et Tolksdorf, afin d'obtenir dans ce cadre des estimées globales en temps pour une régularité maximale du type Da Prato-Grisvard pour des équations paraboliques issues d'opérateurs sectoriels injectifs, non-inversibles.On se sert de ce cadre afin d'établir un nouveau type de régularité maximale globale en temps, avec une estimation de trace adaptée, où l'on remplace l'espace de Lebesgue en temps par un espace de Sobolev homogène.La théorie revisitée de l'interpolation et des opérateurs homogènes en combinaison avec notre construction des espaces homogènes et leurs propriétés sont appliqués à l'étude du Laplacien de Hodge sur le demi-espace plat en dimension arbitraire. On déduit de ce cette analyse la décomposition de Hodge/Helmholtz, pour tout degré de formes différentielles, des espaces de Sobolev et Besov homogènes qui se trouve être essentiellement optimale du point de vue de la régularité. En outre, cela nous permet de déduire de nombreux résultats de régularité maximale pour divers systèmes d'évolution de Stokes ou Maxwell assujettis à diverses conditions au bord. Ceux-ci peuvent être d'un intérêt certain en mécanique des fluides et en électromagnétisme.Enfin, on se concentrera sur la construction et la réalisation des espaces de fonctions homogènes sur les ouverts qui sont des épigraphes de fonctions uniformément lipschitziennes à valeurs réelles. On proposera également une construction des espaces homogènes sur le bord, ainsi qu'un théorème de trace essentiellement optimal du point de vue de la régularité avec des estimées homogènes du point de vue des normes.