Sur l'étude dynamique des tranches paraboliques de l'espace des polynômes cubiques et leurs enrichissements

Douady, Lavaurs, A. Epstein, Shishikura, Lanford III, Yampolsky et d'autres ont mis à jour une classe de fonctions qui est invariante par renormalisation parabolique. Cette classe est caractérisée par des propriétés de revêtement, contient les polynômes de degré deux, et a permis notamment de faire des progrès dans l'étude de leur dynamique. A ce jour l'extension de ces résultats à tous les polynômes de degré 3 n'a pas été réalisée de façon satisfaisante, mais des pistes existent pour développer une telle théorie. Dans cette thèse, nous commençons l'étude d'une telle piste. Nous proposons d'étendre la définition de cette classe de fonctions pour inclure les polynômes de degré 3. Cette extension se scinde naturellement, en degré 3, en trois types de classes. La tranche Per_1(rho) est par définition l'ensemble des polynômes de degré 3 qui fixent un point z_0 avec multiplicateur rho, polynômes pris à conjugaison près par une application affine où z_0 est fixé. Il se trouve que cette tranche est naturellement paramétrée par un nombre complexe a. En partie 2, nous étudions les rayons externes qui peuvent aboutir au point fixe parabolique. Les candidats à être invariant par renormalisation parabolique étant définis par des propriétés de revêtement, nous étudions en quatrième partie les relations entre une notion d'équivalence de revêtement des applications de cornes de certains points paraboliques et une notion de conjugaison associée à ces points paraboliques.