Mahler measures of exact polynomials and cohomology

Mesures de Mahler de polynômes exacts et cohomologie La mesure de Mahler des polynômes en plusieurs variables, introduite par Mahler en 1962, ades liens avec les valeurs spéciales des fonctions L, dont la fonction zêta de Riemann. Le but principal de cette thèse est l’étude de ces relations à l’aide d’outils cohomologiques. L’idée d’utiliser les complexes polylogarithmiques de Goncharov pour étudier les mesures de Mahler a été considérée par Lalín pour le polynôme (x + 1)(y + 1) + z. Nous généralisons son résultat pour des polynômes exacts plus généraux. Plus précisément, sous certaines conditions et en supposant la conjecture de Beilinson, nous exprimons la mesure de Mahler d’un polynôme exact en 3 variables en termes de valeurs de fonctions L de courbes elliptiques et de valeurs de la fonction dilogarithme de Bloch-Wigner. En utilisant les travaux de De Jeu sur les complexes polylogarithmiques, nous construisons explicitement un élément dans la cohomologie motivique de la variété de Maillot, tel que son régulateur de Beilinson est relié à la mesure de Mahler.Plus généralement, nous exprimons la mesure de Mahler d’un polynôme exact en un nombre quelconque de variables en termes de la cohomologie de Deligne-Beilinson de la variété de Maillot. Nous appliquons cette méthode dans le cas du polynôme exact en 4 variables (x+1)(y+1)(z+1)+t.Sous la conjecture de Beilinson, nous prouvons que la mesure de Mahler de ce polynôme est une combinaison linéaire à coefficients rationnels de la fonction L d’une forme modulaire de poids 3 et niveau 7, et de la fonction zêta de Riemann.