Glauber dynamics, factors of product measures and Gibbs measures.

Dynamiques de Glauber, facteurs de mesures produit et mesures de Gibbs Cette thèse s’inscrit dans le cadre de la physique statistique. On cherche à comprendre le comportement macroscopique d’un système physique, à partir des interactions locales entre les particules qui le composent. Un phénomène particulièrement intéressant est celui de la transition de phase : autour d’un certain paramètre critique (par exemple la température), le modèle change brusquement de comportement à l’échelle macroscopique, alors que la nature microscopique du modèle évolue continûment. Ces systèmes sont modélisés mathématiquement par des mesures de probabilités, dites mesures de Gibbs. Lorsque les interactions entre particules sont au plus proche voisin, ces mesures satisfont une propriété de Markov spatiale. De plus, lorsque des particules voisines ont tendance à adopter le même état, le modèle est positivement corrélé : les mesures de Gibbs vérifient alors les inégalités de corrélation dites “FKG”. Ces deux propriétés sont cruciales pour établir le portrait de phase du modèle ; cela se vérifie typiquement dans le cas du modèle d’Ising ferromagnétique, qui représente le comportement d’un aimant en fonction de la température. Une mesure de Gibbs modélise le comportement à l’équilibre d’un système. On peut toutefois considérer une évolution temporelle du modèle, en définissant une dynamique pour laquelle la mesure de Gibbs est invariante. Le premier à le faire fût Roy J. Glauber, qui introduisait en 1968 une dynamique pour le modèle d’Ising qui porte aujourd’hui son nom. Cette dynamique de Glauber est un outil central de la thèse. Un de ses atouts majeurs est qu’on peut la définir sans inégalités de corrélations (l’hypothèse markovienne est nécessaire de prime abord, bien qu’on puisse l’affaiblir). Dans les chapitres 2 et 3, on s’intéressera à des champs gaussiens markoviens, notamment des champs à dépendance finie ou proche de l’être. On analysera d’abord la compatibilité entre les hypothèses “Markov”, “FKG” et “dépendance finie” (chapitre 2). Ensuite, on étudiera un modèle particulier de champ avec des corrélations à décroissance exponentielle (mais non supposées positives ou à portée finie) (chapitre 3). On définira la dynamique de Glauber du modèle et, avec des arguments de couplage par le passé, inventés par Propp et Wilson en 1996, on exprimera le champ comme facteur d’une mesure produit. Cette méthode nous permettra notamment de contrôler l’erreur lorsqu’on approxime le modèle par un champ à dépendance finie. Le chapitre 4 est consacré à un modèle de percolation. La percolation s’intéresse aux propriétés de connectivité d’un sous-graphe aléatoire d’un graphe infini donné (typiquement un réseau périodique). Ces modèles sont particulièrement étudiés car ils présentent généralement une transition de phase : lorsque la densité d’arêtes conservées augmente, on observe l’émergence, à partir d’un seuil critique, d’une composante connexe infinie. Dans le chapitre 4, on trouve une condition suffisante pour l’existence d’une transition de phase, pour un modèle de percolation à longue portée : la percolation booléenne. Enfin, on travaille dans le chapitre 5 sur un modèle à l’interface entre percolation et physique statistique : la percolation FK. Ce modèle illustre parfaitement la difficulté que peut causer l’absence de validité des inégalités FKG. En dimension 2, dans le régime FKG, on sait caractériser la transition de phase du modèle et la valeur du point critique est connue. Dans le régime sans FKG, l’existence même de la transition de phase est encore une question ouverte, et l’on ne connaît les propriétés de percolation du modèle que pour des intervalles très restreints de paramètres. L’objectif du chapitre 5 est de contribuer à l’étude du portrait de phase de la percolation FK “sans FKG”, en améliorant légèrement les résultats connus dans ce régime.