Selberg and Ruelle zeta functions on compact hyperbolic odd dimensional manifolds

Σε αυτή τη διατριβή μελετάμε τις συναρτήσεις ζήτα Selberg και Ruelle σε συμπαγείς προσανατολισμένες υπερβολικές πολλαπλότητες X περιττής διάστασης d. Αυτές είναι δυναμικές συναρτήσεις ζήτα που σχετίζονται με τη γεωδαισιακή ροή στη μοναδιαία εφαπτόμενη δέσμη S(X). Στην διατριβή, ταυτοποιούμε την πολλαπλότητα X με Γ\G/K, όπου G = SO^{0}(d, 1), K = SO(d) και Γ είναι μια διακριτή συνσυμπαγής υποομάδα χωρίς στρέψη του G. Έστω G = KAN η αποσύνθεση Iwasawa ως προς K. Έστω M ο κεντροποιητής του A στο K. Για μια ανάγωγη αναπαράσταση σ του M και μια πεπερασμένης διάστασης αναπαράσταση χ της Γ, ορίζουμε τη συνάρτηση ζήτα Selberg Z(s;σ,χ) και τη συνάρτηση ζήτα Ruelle R(s; σ, χ). Αποδεικνύουμε ότι συγκλίνουν σε κάποιο ημιεπίπεδο Re(s) > c και έχει μία μερομορφική συνέχιση σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. Περιγράφουμε επίσης τα σημεία ανωμαλίας της συνάρτησης ζήτα Selberg ως προς το διακριτό φάσμα ορισμένων διαφορικών τελεστών στη πολλαπλότητα X. Επιπλέον, αποδεικνύουμε συναρτησιακές εξισώσεις που συσχετίζουν τις τιμές τους στο s με αυτές στο −s. Το κύριο εργαλείο που χρησιμοποιούμε είναι ο τύπος ίχνους Selberg για μη oρθομοναδιαίες αναπαραστάσεις. Γενικεύουμε τα αποτελέσματα των Bunke και Olbrich στην περίπτωση των μη oρθομοναδιαίων αναπαραστάσεων χ της Γ.