Homological interprétations of quantum invariants

Interprétations homologiques d'invariants quantiques Cette thèse comporte des interprétations homologiques de certains invariants quantiques, plus particulièrement ceux associés aux groupes de tresses. Le Chapitre 3 étudie des groupes d'homologie localement finie, relative et à coefficients dans un système local abélien sur des espaces de configurations de points dans le disque épointé. Nous munissons ces complexes d'une action du groupe quantique sl(2) dans une version entière, et nous reconnaissons un produit tensoriel de modules de Verma entiers. Enfin, nous retrouvons une action naturelle du groupe des tresses (par homéomorphisme) sur ces modules homologiques, et nous montrons qu'il s'agit de la représentation obtenue par la R-matrice de la catégorie de modules de sl(2). Les représentations homologiques obtenues sont une généralisation des représentations de Lawrence, donc elles sont fidèles. Elles permettent de retrouver homologiquement plusieurs propriétés de la catégorie de modules sur sl(2). Nous donnons des bases entières de l'homologie (i.e. des bases en tant que module sur un anneau entier de polynômes de Laurent). L'action de sl(2), ainsi que celle du groupe des tresses, respectent cette structure, tout comme l'isomorphisme vers le produit tensoriel de modules de Verma. Ce travail étend le théorème de Kohno (retrouvé via une jolie opération homologique) dans plusieurs directions : • il relie les représentations homologiques à tout le produit tensoriel de modules de Verma (et plus seulement aux vecteurs de plus haut poids) • il inclue une interprétation homologique de l'action de sl(2), dont les définitions sont inspirées par un travail de Felder - Wieczerkowski dans lequel l'aspect homologique restait jusqu'ici conjectural. • il en est une version entière, c'est à dire qu'il préserve la structure d'anneau entier sur les polynômes de Laurent, exhibant ainsi précisément les conditions de généricité précédemment requises par le théorème de Kohno. Ce modèle homologique (pour les représentations quantiques de tresses) est ensuite appliqué aux nœuds vus comme des clôtures de tresses dans le Chapitre 4, et permet d'obtenir une formule des traces (homologiques) pour les polynômes de Jones coloriés, qui s'apparente à une somme pondérée de nombres de Lefschetz abélianisés. Le manuscrit contient également un chapitre (Chapitre 2) d'étude concrète de "petits cas" (car les représentations homologiques sont une famille graduée de représentations). Nous montrons explicitement que les représentations de Gassner du groupe des tresses sont des représentations quantiques, et nous donnons des matrices pour une version colorée des représentations de Bigelow-Krammer-Lawrence - construites au préalable. Nous étudions également le premier niveau de graduation de la représentation du groupe modulaire de la sphère à quatre pointes obtenue via la TQFT non semi-simple (construite par Blanchet - Costantino - Geer - Patureau), nous retrouvons une représentation de nature homologique, ce qui aboutit à la fidélité de cette représentation.