Geometry-driven Discretization of Differential Operators

Discrétisation d’Opérateurs Différentielles basée sur la Géometrie Le calcul extérieur discret (DEC) fournit un cadre structure-préservant pour la discrétisation des formes différentielles, en conservant au niveau combinatoire des identités fondamentales telles que d2 = 0et le théorème de Stokes. Toutefois, le DEC classique se limite aux formes à valeurs scalaires, alors que de nombreuses théories géométriques et physiques re-posent sur des formes à valeurs dans un fibrés vectoriel muni d’une connexion.Cette thèse étend le DEC au cadre des fibrés vectoriels. Dans une première partie, nous étudions les connexions sur les surfaces simpliciales et proposons une version discrète modifiée de la connexion de Levi-Civita, ainsi qu’une représentation discrète de la torsion. En exploitant les isomorphismes spécifiques à la dimension deux entre 2-formes à valeurs tan-gentes, champs de vecteurs et 1-formes scalaires, nous développons une approche cohérente pour ana-lyser torsion et courbure sur maillage, avec des applications en conception de champs de directions et en traitement géométrique.La seconde partie introduit un cadre général pour les formes différentielles discrètes à valeurs dans un fibré. Nous formalisons une notion d’intégration adaptée aux formes fibrées à l’aide des connexions et des rétractions, ce qui permet d’induire des cochaînes discrètes à partir de formes lisses. Nous définissons ensuite une dérivée exterieure covariante discrète convergente sous raffinement du maillage,établissons la compatibilité de la courbure discrète avec la courbure lisse, et montrons que les identités de Bianchi sont satisfaites exactement au niveau combinatoire.