Numerical methods around shallow water flows : dispersive effects, Coriolis force

Méthodes numériques autour d'écoulements en eaux peu profondes : effets dispersifs, force de Coriolis Nous étudions dans cette thèse des méthodes numériques pour les écoulements en eaux peu profondes à surface libre. D'une part, nous nous intéressons aux modèles non-hydrostatique de Saint-Venant prenant en compte des effets dispersifs. D'autre part, nous étudions le modèle de Saint-Venant avec terme source de Coriolis et ses équilibres géostrophiques. Dans un premier temps nous considérons des méthodes numériques pour une famille de modèles d'Euler moyennés sur la hauteur d'eau provenant de la littérature. Il s'agit de modèles de Saint-Venant avec une pression non-hydrostatique. Notre but premier est d'analyser la convergence d'un schéma mixte avec condensation de masse introduit dans la littérature en utilisant la Méthode de Discrétisation du Gradient (GDM). Par la suite, nous proposons une nouvelle formulation conforme du problème en pression et donnons les estimateurs d'erreur correspondant via la GDM. Enfin, nous donnons un exemple d'application avec la méthode des éléments finis. Dans un second temps nous souhaitons avoir des schémas explicites colocalisés volumes finis pour les équations de Saint-Venant non-linéaires avec un terme source de Coriolis qui seraient précis aux alentours de l'équilibre géostrophique et stables dans le cadre non-linéaire. Nous construisons plusieurs schémas volumes finis et étudions les deux propriétés suivantes : la décroissance de l'énergie semi-discrète et la préservation de l'équilibre géostrophique par la version linéarisée. Enfin, nous observons le comportement de ces schémas à travers plusieurs cas tests et obtenons de meilleurs résultats en comparaison d'un schéma volumes finis classique.