A posteriori error estimation for finite element approximations of fractional Laplacian problems and applications to poro-elasticity

Estimation d'erreur a posteriori pour l'approximation de problèmes Laplaciens fractionnaires et applications en poro-élasticité Ce manuscrit traite de l'estimation d'erreur a posteriori pour les discretisation par méthodes éléments finis d'équations aux dérivées partielles standard et fractionnaire, ainsi que d'une application du calcul fractionnaire à la modélisation du ménisque humain via les équations de poro-élasticité.Dans l'introduction, nous donnons un aperçu de la littérature concernant l'estimation d'erreur a posteriori pour les méthodes éléments finis et concernant les méthodes de raffinement de maillage adaptatif.Nous donnons également un aperçu de la littérature concernant les équations aux dérivées partielles fractionnaires et la dérivée fractionnaire de Caputo ainsi que ses applications en diffusion anormale.Une attention particulière sera donnée à l'état de l'art de l'estimateur d'erreur de Bank-Weiser ainsi qu'aux méthodes d'estimation d'erreur a posteriori pour le Laplacien fractionnaire spectral.Le reste du manuscrit s'organise comme suit.Le Chapitre 1 concerne une preuve de la fiabilité de l'estimateur de Bank-Weiser pour des problèmes tridimensionnels discretisés à l'aide des éléments de Lagrange linéaires. Ce résultat est une extension d'un résultat existant dans la littérature.Dans le Chapitre 2 nous présentons un étude numérique de l'estimateur de Bank-Weiser.Nous fournissons une nouvelle implémentation de cet estimateur dans le logiciel éléments finis FEniCS, fonctionnant en parallèle.Nous appliquons notre code à une variété de problèmes elliptiques, plusieurs problèmes de Poisson bidimensionnels et un problème d'élasticité linéaire tridimensionnel.En particulier, nous utilisons cette implémentation dans une méthode de raffinement de maillage adaptative et pour de l'estimation d'erreur en fonction objectif.De plus, nous proposons des études de la convergence de ces méthodes ainsi qu'une étude du temps de calcul de la méthode d'estimation d'erreur lorsqu'elle est effectuée en parallèle.Dans le Chapitre 3 nous définissons un nouvel estimateur a posteriori pour la quantification de l'erreur en norme L2 lors de la discretisation par éléments finis du Laplacien fractionnaire.Nous proposons une implémentation de notre méthode dans le logiciel éléments finis FEniCS.Nous appliquons cet estimateur à des méthodes de raffinement de maillage adaptatif pour des problèmes de Poisson fractionnaires bidimensionnels et tridimensionnels.De plus, nous fournissons des résultats numériques montrant la convergence de notre méthode.Dans le Chapitre 4 nous présentons de nouveaux résultats théoriques à propos de la convergence d'une méthode d'approximation rationnelle et ses conséquences sur l'approximation de normes fractionnaires et sur l'estimation d'erreur a priori pour la semi-discrétisation du Laplacien fractionnaire spectral.Finalement, dans le Chapitre 5 nous proposons une application de l'analyse fractionnaire à l'étude du ménisque humain via les équations de poro-élasticité et la dérivée fractionnaire de Caputo.