Explicit symplectic geometry of meromorphic connections and isomonodromic deformations

Géométrie hamiltonienne explicite des connexions méromorphes et déformations isomonodromiques On considère des connexions méromorphes génériques et twistées définies sur le fibré vectoriel trivial de rang 2 sur un sous-ensemble ouvert de Zariski de la sphère de Riemann, ces connexions sont connues pour déterminer un triplet d'espaces algébriques complexes, les espaces de modules de ``de Rham", ``Dolbeault" and ``Betti" qui sont naturellement difféomorphes. Les expressions explicites des connexions en fonction des coordonnées de Darboux sont données pour une structure polaire arbitraire, et les déformations isomonodromiques au-dessus d'une base B de temps sont considérés. Ces derniers génèrent la structure Hamiltonienne comme manifestation de la nature symplectique sous-jacente de ces connexions. Le formalisme construit s'appuie fortement sur les connaissances géométriques locales incarnées dans la classification formelle des systèmes différentiels méromorphes. La structure Hamiltonienne non-autonome générale est construite dans des cas génériques et twistés conduisant à la définition de la deux-forme symplectique étendue déterminant le système. La réduction symplectique des systèmes Hamiltoniens généraux, générée par l'action du groupe linéaire projectif, est montrée, permettant de retrouver des exemples connus comme les équations de Painlevé et leurs généralisations. Le formalisme construit dans le cas générique admet un lien, via un changement non trivial des coordonnées de Darboux, avec le formalisme isospectral. Le lien explicite entre les deux approches est donné conduisant à une correspondance non-symplectique manifestée au niveau des coordonnées. L'absence d'isomorphisme entre les deux structures symplectiques est comprise comme une conséquence des structures difféomorphes sous-jacentes des deux côtés isomonodromique et isospectrale. Le dernier chapitre montre une généralisation des méthodes du rang 2 au rang 3. La motivation réside dans l'existence d'isomorphismes entre les espaces de modules de connexions définis sur des fibrés de rangs différents et possédant des structures polaires différentes. L'exemple considéré dans la thèse est un généralisation de la dualité de Harnad, considérée par Boalch, couvrant le cas de Painlevé 4 considéré. Cette dualité est présentée sous un angle différent et analysée sous plusieurs angles. Il est redémontré que cette dualité relie les structures symplectiques sous-jacentes de deux connexions définies sur des fibrés de rangs différents, ouvrant ainsi, par un exemple, une piste possible pour la classification des espaces de modules de connexions.