Approximation forte et étude sur de grandes échelles de temps de modèles stochastiques de grandes populations

De nombreux modèles stochastiques de populations font partie de la classe des chaînes de Markov densité-dépendantes. Il s'agit de chaînes de Markov à temps continu qui font intervenir un paramètre d'échelle K, représentant par exemple une quantité de ressources en écologie ou la taille totale de la population en épidémiologie. Dans le régime des grandes valeurs de K, ces chaînes admettent pour limite d'échelle la solution d'une équation différentielle (loi des grands nombres) et les fluctuations sont asymptotiquement gaussiennes (théorème central limite).Dans le premier chapitre de cette thèse, nous quantifions l'échelle de temps pendant laquelle cette approximation gaussienne reste valide uniformément sur la trajectoire, en fonction du niveau de précision voulu, dans le cas où le système dynamique limite converge vers un point d'équilibre exponentiellement stable. On construit pour cela un nouveau couplage entre la chaîne et son approximation gaussienne, et l'on montre que le temps nécessaire à l'erreur d'approximation pour atteindre un niveau donné est au moins exponentiel en le produit du paramètre d'échelle et du niveau d'erreur. Ainsi, par une approche unique, on obtient une extension du théorème central limite à des échelles de temps exponentielles en la racine carrée de K, et on retrouve deux faits déjà connus, à savoir que l'approximation gaussienne prédit correctement les échelles de temps des déviations modérées, et que la loi marginale de la chaîne est approximativement gaussienne pendant un temps exponentiel en K.Dans le deuxième chapitre, on s'intéresse au cas où la dynamique est de plus soumise au contrôle d'un environnement changeant, aléatoire ou déterministe. La limite d'échelle est alors une équation différentielle à coefficients aléatoires ou dépendant du temps, et les fluctuations sont décrites par un processus gaussien conditionnellement à l'environnement. On montre que les résultats obtenus dans le premier chapitre en environnement constant peuvent se généraliser, sous l'hypothèse que les trajectoires de la limite d'échelle vérifient une propriété de stabilité exponentielle uniforme. On présente des conséquences sur l'approximation de moyennes empiriques de fonctions régulières de la chaîne.Enfin, le troisième et dernier chapitre est consacré à l'étude d'un modèle épidémique individu-centré Susceptible-Infecté-Susceptible multi-type en environnement aléatoire. Dans ce cadre, la limite d'échelle est donnée par un processus markovien déterministe par morceaux (PDMP). On s'intéresse particulièrement au cadre dit persistant où la maladie tend à se propager puis à persister durablement dans la population. On montre qu'alors, dans une population de grande taille K, partant d'une proportion macroscopique d'infectés, le temps typique d'extinction de l'épidémie soit se comporte comme une puissance de K que l'on caractérise, soit croît plus vite que toute puissance de K. Enfin, on montre que la distribution quasi-stationnaire associée au conditionnement à la non-extinction converge vers l'unique distribution stationnaire non triviale du PDMP limite.