Lp−Lq-Estimates for Potential-Type Operators with Oscillating Kernels

Получены Lp−Lq-оценки для обобщенных потенциалов Рисса с осциллирующими ядрами и характеристиками широкого класса, включающего произведение однородной функции, бесконечно дифференцируемой в Rn∖{0}, и функции класса Cm,γ(R˙1+). Описаны выпуклые множества (1/p,1/q)-плоскости, для точек которых упомянутые операторы ограничены из Lp в Lq, и указаны области, где эти операторы не ограничены. В некоторых случаях доказана точность полученных оценок. В частности, получены необходимые и достаточные условия ограниченности исследуемых операторов в Lp. В настоящее время имеется ряд работ по Lp−Lq-оценкам для операторов свертки с осциллирующими ядрами, в частности, для операторов Бохнера - Рисса и акустических потенциалов, возникающих в различных задачах анализа и математической физики. В этих работах рассматриваются ядра, содержащие только радиальную характеристику b(r), которая стабилизируется на бесконечности как гёльдеровская функция. Благодаря этому свойству получение оценок для указанных операторов сводилось к случаю оператора с характеристикой b(r)≡1. Подобное сведение в принципе невозможно, когда ядро потенциала Рисса содержит однородную характеристику a(t′). Поэтому в работе развивается новый метод, основанный на получении специальных представлений для символов рассматриваемых операторов с последующим применением техники Фурье-мультипликаторов, вырождающихся или имеющих особенности на единичной сфере в Rn.