Μέθοδοι Runge-Kutta και Runge-Kutta-Nystrom με ειδικές ιδιότητες για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετάται η αριθμητική επίλυση συστημάτων πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων συνήθων διαφορικών εξισώσεων με λύση ταλαντωτικής μορφής. Για την αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων αυτών, αναπτύσσονται άμεσες μέθοδοι Runge-Kutta και Runge-Kutta-Nystrom. Η διατριβή αποτελείται από δύο βασικά μέρη. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζονται βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται για την ανάπτυξη, ανάλυση και εφαρμογή των μεθόδων Runge-Kutta και Runge-Kutta-Nystrom. Δίνονται οι βασικοί ορισμοί και η γενική μορφή και των δύο τύπων μεθόδων. Παρουσιάζεται συνοπτικά η θεωρία των δέντρων και αναφέρονται οι ορισμοί της υστέρησης φάσης και της απώλειας. Το δεύτερο μέρος αποτελείται από δύο κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο αναπτύσσεται μία άμεση μέθοδος Runge-Kutta πέμπτης αλγεβρικής τάξης, όπου ελαχιστοποιείται η υστέρηση φάσης, για την αριθμητική ολοκλήρωση της ανεξάρτητης του χρόνου, μονοδιάστατης εξίσωσης Schrodinger και άλλων σχετικών προβλημάτων αρχικών τιμών. Κατόπιν, γίνεται σύγκριση των αποτελεσμάτων που εξήχθησαν με αυτά άλλων μεθόδων που χρησιμοποιούνται για την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Schrodinger. Στο δεύτερο κεφάλαιο του δεύτερου μέρους παρουσιάζονται δύο άμεσες Runge-Kutta-Nystrom μέθοδοι πέμπτης αλγεβρικής τάξης, που η μία έχει σταθερούς συντελεστές και η άλλη συνδυάζει τις ιδιότητες της μηδενικής υστέρησης φάσης και της μηδενικής απώλειας, για την αριθμητική ολοκλήρωση της μονοδιάστατης εξίσωσης Schrodinger, καθώς επίσης του τροχιακού προβλήματος δύο σωμάτων και άλλων συναφών προβλημάτων. Για τις νέες μεθόδους γίνονται συγκρίσεις αποτελεσμάτων και με άλλες μεθόδους από τη βιβλιογραφία.