Matematyczne miscellanea. Tom 4. Wybrane narzędzia modelowania matematycznego

Współczesna matematyka, będąca fundamentem wielu dziedzin nauki i technologii, odgrywa kluczową rolę w rozwiązywaniu problemów, zarówno teoretycznych, jak i praktycznych. Wśród jej różnorodnych gałęzi, teoria grafów i teoria prawdopodobieństwa zajmują szczególne miejsce, oferując narzędzia i metody przydatne do analizy skomplikowanych systemów i procesów. Niniejsza monografia, będąca kolejnym, czwartym tomem serii Matematyczne Miscellanea, ma na celu przedstawienie kilku nowoczesnych narzędzi z tych dwóch dynamicznie rozwijających się dziedzin oraz ukazanie ich zastosowań w różnych obszarach. Teoria grafów umożliwia modelowanie i analizę relacji oraz powiązań między różnymi obiektami. Dzięki swojej uniwersalności, znalazła ona szerokie zastosowanie w informatyce, biologii, logistyce, a także w analizie sieci społecznych i telekomunikacyjnych. Grafy pozwalają na reprezentowanie i zrozumienie złożonych struktur, takich jak sieci komputerowe, systemy transportowe czy interakcje białek w komórkach. Do modelowania jeszcze bardziej złożonych zależności i relacji używa się hipergrafów, które są uogólnieniem klasycznych grafów. Z kolei teoria prawdopodobieństwa dostarcza narzędzi do modelowania i analizy zjawisk losowych, co jest nieodzowne w kontekście niepewności i zmienności rzeczywistości. Jej zastosowania obejmują szeroki wachlarz dziedzin, od statystyki i ekonomii, przez fizykę i inżynierię, aż po biologię i medycynę. Dzięki teorii prawdopodobieństwa możliwe jest przewidywanie przyszłych zdarzeń, ocena ryzyka oraz optymalizacja procesów w warunkach niepewności. Teoria ta pozwala prognozować niezawodności urządzeń technicznych, rozwój zjawisk gospodarczych, w tym przewidywać zachowania rynków finansowych, modelować oczekiwane straty i ryzyka kredytowe. W pierwszym rozdziale zaprezentowano hipergrafy mieszane, jedną z nowszych struktur zdefiniowaną w celu modelowania złożonych zależności między obiektami. Po krótkiej prezentacji pojęć dotyczących klasycznych grafów i hipergrafów, zdefiniowano hipergraf mieszany, jego kolorowanie oraz przedstawiono dwa podejścia do tak zdefiniowanego kolorowania. Jednym z nich jest algorytm rozdzielania-ściągania, a drugim użycie programowania całkowitoliczbowego. W dalszej części rozdziału przedstawiono konkretne wykorzystanie kolorowania hipergrafu mieszanego przy wykonywaniu zapytań do bazy danych. Drugi rozdział zawiera krótki opis czterech algorytmów grafowych, od najbardziej klasycznego algorytmu Dijkstry, przez algorytm genetyczny, po najnowsze specjalistyczne algorytmy cięcia pętla po pętli i wiszących ogrodów. Opisano,jak można wykorzystać te algorytmy w modelowaniu zintegrowanego systemu miejskiej gospodarki wodnej. Trzeci rozdział dotyczy zastosowania narzędzi teorii grafów do opracowania procesu realizacji różnego rodzaju projektów. Przedstawiono trzy metody grafowe stosowane w tym kontekście, są to: CPM (critical path method), PERT (program evaluation and review technique) oraz GERT (graphical evaluation and review technique). Wspólną cechą tych metod jest podział projektu na wiele dobrze zdefiniowanych i nienakładających się na siebie pojedynczych zadań oraz szeregowania ich w odpowiedniej kolejności z uwzględnieniem czasów ich wykonania. Najprostszą z nich jest najbardziej znana deterministyczna metoda CPM, w której z góry określona jest struktura całego przedsięwzięcia. Bardziej ogólna jest metoda PERT, w której uwzględnia się możliwość losowej zmiany czasu wykonania zadań w pewnym zakresie. Najbardziej zaawansowana jest metoda GERT, gdyż pozwala również na dynamiczną zmianę struktury w zależności od losowo występujących czynników. Metody te porównano na przykładzie opracowania harmonogramu realizacji konkretnego projektu budowlanego. Czwarty rozdział stanowi wprowadzenie do przestrzeni podliniowej wartości oczekiwanej. Jest to nowe narzędzie powstałe w odpowiedzi na fakt, że klasyczne modele prawdopodobieństwa mogą okazać się niewystarczające w warunkach niepewności prawdopodobieństwa. Wiele zjawisk zachodzi w takich warunkach, a modele budowane przy użyciu liniowej i addytywnej wartości oczekiwanej ich nie uwzględniają. Prawdopodobieństwa nieaddytywne i nieaddytywne wartości oczekiwane lepiej nadają się do opisu takich zjawisk. W ostatnich latach teoria i metodologia nieliniowości zostały dobrze rozwinięte i spotkały się z dużym zainteresowaniem w niektórych dziedzinach, takich jak finanse czy pomiar i kontrola ryzyka. Model matematyczny podliniowej przestrzeni wartości oczekiwanej wprowadził w 2010 roku do literatury Peng jako naturalne rozszerzenie klasycznej liniowej przestrzeni, dostarczając tym samym nowych narzędzi do modelowania zjawisk zachodzących w warunkach niepewności. Konstrukcja tej przestrzeni opiera się na założeniu, że wartość oczekiwana E nie jest funkcjonałem liniowym, lecz podliniowym. Konsekwencją tego rozszerzenia jest konieczność przedefiniowania podstawowych pojęć, znanych z klasycznej przestrzeni prawdopodobieństwa, w taki sposób, aby spełniały one równoważne role w nowej rozszerzonej przestrzeni. Należą do nich między innymi: wartość średnia, wariancja, rozkład zmiennej losowej, prawdopodobieństwo, niezależność zmiennych losowych, ale także nowa wersja prawa wielkich liczb czy centralnego twierdzenia granicznego. Pojęcia takie jak mocna i słaba zbieżność zyskują w niej nowe interpretacje. W piątym rozdziale szeroko opisano ciągłą procedurę aproksymacji stochastycznej w środowisku półmarkowowskim. Procedura aproksymacji stochastycznej (PAS)stanowi podstawę teoretyczną optymalizacji konstrukcji ciągu zbieżnego do punktu równowagi w warunkach skomplikowanych wpływów środowiska zewnętrznego na funkcję regresji albo wpływów na układ stochastyczny. Głównym problemem dotyczącym PAS jest jej zbieżność przy wykorzystaniu jak najmniejszej ilości informacji o funkcji regresji oraz charakterystyk tej funkcji w punkcie obserwacji. Ponadto jednym z najważniejszych zadań ogólnej teorii układów ewolucyjnych w środowisku stochastycznym jest znalezienie warunków stabilności takich układów. W tym rozdziale zaprezentowano zastosowanie algorytmów fazowego uśrednienia procesów półmarkowowskich, a także algorytmów dyfuzyjnego przybliżenia stochastycznych ewolucji, które są wykorzystywane przez metody martyngałowe we współczesnej teorii procesów losowych. Szósty, ostatni rozdział monografii prezentuje, w jaki sposób można połączyć teorię grafów i rachunek prawdopodobieństwa w celu opisu tworzenia się i rozwoju sieci złożonej o specjalnych własnościach. Prekursorami takiego podejścia byli Erdős i Rényi, węgierscy naukowcy, którzy zdefiniowali graf losowy. Jednak wiele sieci występujących w rzeczywistości nie może być opisanych z użyciem ich modelu. W rozdziale przedstawiono model Bianconi–Barabásiego, będący uogólnieniem bardziej znanego modelu Barabásiego–Albert. Zasada preferencyjnego dołączania wierzchołków została w nim rozszerzona o parametr różnorodności adaptacyjnej opisujący atrakcyjność węzła w sieci. Umożliwia to indywidualizację traktowania poszczególnych węzłów w kontekście ich oddziaływania na całą sieć. Mamy nadzieję, że monografia ta stanie się źródłem wiedzy i inspiracji zarówno dla studentów, jak i dla naukowców oraz praktyków zainteresowanych zastosowaniami matematyki, w szczególności teorii grafów i prawdopodobieństwa, w różnych dziedzinach.