Analysis and approximation for BGK models

Analyse et approximation pour les modèles BGK Au cours de ce travail de thèse, nous étudions la spécificité des modèles BGK sous plusieurs aspects (schémas numériques, modélisation, théorème d’existence). Au sein de la théorie cinétique des gaz, l’opérateur de collision de Boltzmann fournit une très bonne description microscopique des interactions au sein du gaz. Néanmoins, la complexité de cet opérateur intégral le rend peu commode d’utilisation au niveau numérique. Les opérateurs de relaxation de type BGK sont une alternative à l’opérateur de Boltzmann, en ce qu’ils abandonnent la lourde description macroscopique pour conserver seulement quelques propriétés primordiales : lois de conservation, relaxation vers l’attracteur maxwellien, théorème H. Néanmoins, ces nouveaux opérateurs, hautement non linéaires, demandent des approches différentes pour être étudiés. De plus, la conciliation des impératifs physiques (i.e lois de conservations, système de Navier-Stokes sous-jacent et dissipation de l’entropie) n’est pas immédiate, et certains coefficients de transport peuvent être erronés. Le présent travail de thèse se propose d’explorer ces différentes difficultés. Le premier travail est un résultat de modélisation : il s’agissait de construire un opérateur BGK pour un mélange de gaz polyatomique à description d’énergie continue, qui puisse fournir les bonnes valeurs des coefficients de Fick ainsi que les bonnes viscosités, tout en conservant le théorème H, via un problème inverse et une minimisation d’entropie sous contraintes. Le deuxième travail est le résultat d’un travail conjoint (CEMRACS 2022), et propose l’étude comparative de deux équations équivalentes (hyperbolicité, stabilité) dans le cadre de schéma de type Lattice Boltzmann. Le troisième travail propose l’étude de plusieurs modélisations bi-température pour différents régimes d’un plasma chaud en approximation MHD - via l’approche cinétique. Dans un quatrième travail fut un schéma numérique de type BGK discret, où l’intérêt est d’obtenir un traitement des termes non linéaire via une procédure de transport projection, dans un contexte avec présence de champs magnétiques, qui n’avaient jusqu’à présent pas été traités. Le dernier travail établit un théorème d’existence de solutions mild pour l’équation ES-BGK stationnaire multi-espèces dans une bande, avec conditions aux bords mixtes.