On the discrete geometry of generalized angles and inscribability

Diese Dissertation gliedert sich in zwei Themenkomplexe. Der erste Teil widmet sich Winkelbegriffen an Polytopen; der zweite Teil behandelt die Einschreibbarkeit von Polytopen. Sei $P \subseteq \R^d$ ein $d$-dimensionales Polytop und sei $F$ eine Seite von $P$. Wir definieren $T_FP \defeq \cone (-F + P)$ als den Tangentialkegel von $F$ an $P$ und $N_FP \defeq (T_FP)^\polar$ als seinen polaren Kegel, den Normalenkegel. Eine Kegelbewertung $\alpha : \cones^d \to R$ ist eine Abbildung, welche für $C, D \in \cones^d$ mit $C \cup D$ konvex die Bewertungsrelation $\alpha(C) + \alpha(D) = \alpha(C \cap D) + \alpha(C \cup D)$ erfüllt, wobei $\cones^d$ die Menge der polyedrischen Kegel und $R$ ein kommutativer Ring ist. Die Innen- und Außenwinkel von $P$ an $F$ bezüglich $\alpha$ sind \begin{align*} \aInt(F, P) \ &\defeq \ \alpha(T_FP)\,, & \aExt(F, P) \ &\defeq \ \alpha(N_FP)\,. \end{align*} Summiert man die Innen- und Außenwinkel $\aInt(F, P)$ und $\aExt(F, P)$ für alle Seiten einer fixen Dimension $i$, erhält man den $i$-ten Eintrag des Innen- und Außenwinkelsummenvektors $\aInt(P)$ und $\aExt(P)$ (kurz $\aInt$-Vektor und $\aExt$-Vektor). Innen- und Außenwinkelsummen erfüllen die Brianchon-Gram- und die Gauss-Bonnet-Relationen analog zur Euler-Poincaré-Gleichung des $f$-Vektors. Wir werden in Kapitel~1 zeigen, dass die Brianchon-Gram-und die Gauss-Bonnet-Relationen bis auf Skalierung die einzigen linearen Relationen sind, die für Innen- und Außenwinkelvektoren gelten und zwar unabhängig von der zugrundeliegenden Bewertung -- eine Verallgemeinerung eines Resultats von Höhn (1953). Diese Resultate werden wir in Kapitel~2 für Fahnenwinkelvektoren erweitern, welche eine Reihe von geometrischen Größen wie dem Winkeldefekt, den sphärischen intrinsischen Volumina und Grünbaum's Grassmann-Winkel verallgemeinern. Dafür werden wir den linearen Unterraum, der von Fahnenwinkeln von $d$-dimensionalen Polytopen aufgespannt wird, bestimmen; dieser ist auch hier unabhängig von der betrachteten Bewertung. Diese Resultate folgen jeweils aus einer Korrespondenz von Fahnenwinkelvektoren und Fahnen-Whitney-Zahlen von Zonotopen aus der Sicht von Inzidenzalgebren. Kapitel~3 beschäftigt sich mit simplizialen Polytopen und erweitert die Analogie von Innenwinkelsummen zum $f$-Vektor. Mithilfe der Stanley-Reisner-Theorie von (relativen) Simplizialkomplexen werden die Nicht-Negativität und weitere lineare Ungleichungen des $\gInt$-Vektors bestimmt, einer linearen Transformation des $\aInt$-Vektors ähnlich des $h$-Vektors, welche in Camenga~(2006) beschrieben ist. Der Abschnitt zu Winkeln wird in Kapitel~4 mit einer detaillierten Betrachtung von Kegelbewertungen als algebraische Objekte abgeschlossen. Wir zeigen, dass im Hintergrund einiger Winkelgleichungen sowie der Verbindung zwischen Innen- und Außenwinkel, die in den Kapiteln~1 und~2 genutzt wurden, eine Form von Möbius-Inversion steht. Diese lässt sich am besten in einer abgewandelten Form der Inzidenzalgebra formulieren, bei der die Multiplikation per Konvolution durch eine Wechselsumme ersetzt wird. Diese hat den Vorteil, dass Elemente der Inzidenzalgebra, welche durch Kegelbewertungen $\alpha$ induziert sind, d.h. welche von der Form $\aInt(\cdot, \cdot)$ sind, unter dieser Wechselkonvolution abgeschlossen sind. Das Hauptresultat des Kapitels ist die Existenz von Inversen dieser Elemente, was sich strukturell auch durch eine zugrundeliegende Hopf-Algebra erklären lässt. Im zweiten Teil dieser Dissertation werden wir die Einschreibbarkeit von Polytopen betrachten. Ein Polytop $P$ ist eingeschrieben, falls die Menge der Ecken $V(P)$ in einer Sphäre enthalten ist. Wir nennen zwei Polytope {normal äquivalent}, falls ihr {Normalenfächer} $\fan(P) \defeq \{N_FP : \text{ $F$ ist eine Seite von $P$}\}$ übereinstimmt, geschrieben $P \simeq P'$. Der {Einschreibbarkeitskegel} \[ \InCone(P) \ \defeq \ \{ P' \simeq P : P' \text{ eingeschrieben} \} \ / \ \text{Translationen} \] ist der Raum der eingeschriebenen Polytope, die normal äquivalent zu $P$ sind, modulo Translation. Ein Polytop heißt {normal einschreibbar}, falls $\InCone(P) \neq \emptyset$. Wir beginnen die Untersuchung von $\InCone(P)$ in Kapitel~5 mit dem grundlegenden Resultat, dass $\InCone(P)$ unter Minkowskisumme abgeschlossen ist und in Folge dessen die Struktur eines polyedrischen Kegels hat. Dieser Kegel wird im Laufe des Kapitels zum einen als Teilmenge des $\R^d$, sowie als Unterkegel des {Type Cones} $\TypeCone(P)$ von $\fan(P)$ realisiert. Diese unterschiedlichen Realisierungen erlauben uns eine explizite Beschreibung von $\InCone(P)$ durch lineare \mbox{(Un-)Gleichungen} zu erhalten, welche einen Algorithmus für die Existenz von normal eingeschriebenen Polytopen zu einem gegebenen Polytop ermöglicht. Die Untersuchung des Einschreibbarkeitskegels erfolgt entlang einer Reihe von Beispielen. Wir werden eine vollständige Beschreibung des Kegels für Polygone geben. Des Weiteren werden wir den Einschreibbarkeitskegel des regulären Permutaeder und allgemeiner von Nestoedern untersuchen. Diese Überlegungen basieren auf einer lokalen Charakterisierung für eingeschriebene Polytope, welche im Spezialfall für einfache Polytope besagt, dass jene eingeschrieben sind, falls alle ihre $2$-dimensionalen Seiten eingeschrieben sind. Die Einbettung von $\InCone(P)$ in den Type Cone $\TypeCone(P)$ und damit in den Type Space $\TypeSpc(P)$ legt nahe, neben eingeschriebenen Polytopen auch eingeschriebene virtuelle Polytope zu betrachten, welche zunächst formale Minkowskidifferenzen von Polytopen sind, aber für welche sich auch eine Eckenmenge und damit Einschreibbarkeit definieren lassen. Der Einschreibbarkeitsraum $\InSpc(P)$ lässt sich analog zum Einschreibbarkeitskegel in etwa als die Menge der eingeschriebenen, virtuellen Polytope mit gegebenen Normalenfächer definieren. Es gilt hierbei auf natürliche Weise $\InCone(P) \subseteq \InSpc(P)$ und darüber hinaus $\InCone(P) + (-\InCone(P)) = \InSpc(P)$, falls $P$ normal einschreibbar ist. Es ist jedoch möglich, dass ein Polytop sich nur virtuell normal einschreiben lässt; wir werden dieses und verwandte Phänomene an einer Reihe von Beispielen untersuchen.