Diagonal restriction and denominators of some Eisenstein cohomology classes

Restriction à la diagonale et dénominateurs de classes de cohomologie d'Eisenstein Nous étudions la cohomologie d’espaces localement symétriques en lien avec des formes automorphes. Dans une première partie, nous nous intéressons à des espaces symétriques associés à des groupes orthogonaux et à la correspondance theta de Kudla et Millson. Elle permet de relever des classes de cohomologie de l’espace localement symétrique à des formes modulaires. Un des ingrédients de cette correspondance theta est une certaine forme différentielle. Un premier résultat nous permet de relier cette forme différentielle à une forme de Thom construite par Mathai et Quillen grace à la théorie de Chern-Weil. Dans un second temps, nous montrons qu’en choisissant une certaine classe de cohomologie associée à un corps de nombre totalement réel F , le relevé par la correspondance theta est la restriction à la diagonale d’une série d’Eisenstein de Hilbert de poids parallèle 1. De plus, nous montrons que ses coefficients de Fourier sont des nombres d’intersections. Lorsque F est un corps quadratique cela nous permet de retrouver un résultat de Darmon, Pozzi et Vonk. Dans une seconde partie, nous nous intéressons à la cohomologie d'Eisenstein d'un espace localement symétrique associé à SL₂(K), où K est un corps de nombre quadratique imaginaire. Nous donnons dans certains cas une borne inférieure en terme de valeur spéciale de fonction L de Hecke. D'un autre côté, des travaux de Berger donne la même valeur comme borne supérieure, ce qui permet dans certains cas d'obtenir une égalité.