Tessellations de Voronoï généralisées : modélisation CAO, propriétés statistiques et application à l'homogénéisation du comportement des agrégats polycristallins

De nombreux matériaux hétérogènes peuvent voir leur architecture représentée géométriquement au moyen de Diagrammes De Voronoi (DDV). Les agrégats polycristallins en particulier sont ainsi couramment modélisés par des tessellations de Laguerre qui généralisent les DDV de base. Cette classe de DDV a été bien étudiée des points de vue des algorithmes permettant de les engendrer et de leurs propriétés statistiques. Elle constitue en pratique le standard pour la modélisation du comportement des polycristaux que ce soit à partir d'une géométrie initiale idéalisée ou d'une géométrie reconstruite à partir de données expérimentales. Toutefois, avec cette approche les facettes des grains sont par nature limitées à être planes. Cette limitation interdit donc l'espoir de pouvoir représenter des architectures polycristallines dotées d'interfaces courbes. Les travaux menés dans cette thèse visent donc à proposer une nouvelle approche pour la génération de tessellations de Voronoi généralisées permettant de gérer à la fois des facettes planes et courbes. Cette nouvelle approche s'appuie sur les concepts de DDV associés à des fonctions-distances non-euclidiennes comme par exemple Multiplicatively Weighted Voronoi Diagram (MWVD) ou Additively Weighted Voronoi Diagram (AWVD). La génération de ces DDV généralisés ne s'appuie pas ici sur des algorithmes issus de travaux de géométrie algorithmique en raison de leur relatif manque de maturité ou de disponibilité comparé à ceux portant sur les tessellations de Laguerre. L'approche retenue s'appuie sur l'idée que chaque cellule dans un DDV peut être envisagée comme le résultat d'une succession d'opérations booléennes représentant un processus de taille analogue à celui accompli sur une pierre précieuse brute. Ces opérations booléennes sont ici réalisées dans l'environnement CAO proposé par le logiciel open-source FreeCAD qui exploite les librairies de modélisation 3D OpenCascade. Les algorithmes développés et les programmes associés permettent la génération tant en 2D qu'en 3D de DDV classiques, de tessellations de Laguerre, de MWVD, de AWVD et autres. Au moyen de ces modèles numériques de DDV généralisés il devient alors possible d'en étudier les propriétés géométriques d'un point de vue statistique et de produire ainsi, pour certaines classes de DDV, des données à priori inédites. Enfin, pour en revenir au contexte initial de ces travaux sur la modélisation des polycristaux, il devient alors également possible d'étudier les comportements mécanique et thermique de ces DDV généralisés après une étape de maillage des modèles CAO d'agrégats. Les calculs d'homogénéisation réalisés au moyen de solveurs Eléments-Finis permettent d'étudier l'influence du type de DDV généralisé et de ses paramètres sur le comportement équivalent de l'agrégat ainsi modélisé. Pour conclure, l'extension de l'approche proposée à de nouvelles classes de DDV généralisés et son application à de nouvelles études des propriétés statistiques et physiques des agrégats sont présentées.