Equivariant cellular models in Lie theory

Modèles cellulaires équivariants en théorie de Lie Ce travail vise à construire des structures cellulaires explicites sur des espaces apparaissant en théorie de Lie, équivariantes pour l'action d'un groupe de Weyl. En général, l'étude de telles structures sur un G-espace X a pour but d'exhiber un modèle pour le foncteur dérivé des sections globales RGamma(X,Z) dans la catégorie dérivée bornée D^b(Z[G]) des Z[G]-modules, unique à homotopie près. Les deux classes d'espaces sur lesquelles nous nous concentrons sont les variétés de drapeaux et tores maximaux des groupes de Lie compacts semi-simples. Plus spécifiquement, étant donné un groupe de Lie simple compact K et un tore maximal T<K, on donne une structure simpliciale générale sur T, équivariante pour l'action du groupe de Weyl W:=N_K(T)/T et nous décrivons la W-algèbre différentielle graduée associée, en fonction du réseau des caractères de T. Pour les groupes de Coxeter finis non cristallographiques, nous constuisons des variétés hyperboliques compactes qui peuvent être vues comme des analogues des tores, en utilisant des extensions hyperboliques plutôt que des extensions affines. Dans le cas des groupes diédraux, ce sont des surfaces de Riemann arithmétiques. Concernant les variétés de drapeaux, nous étudions trois décompositions cellulaires S_3-équivariantes distinctes de la variété de drapeaux réelle F_3(R) de R^3, qui constitue le premier exemple non-trivial. La première utilise le graphe de Goresky-Kottwitz-MacPherson de S_3 et un plongement algébrique de F_3(R) dans RP^7, la deuxième utilise le fait que le revêtement universel de F_3(R) est la 3-sphère et fournit un complexe d'homologie cellulaire particulièrement joli et simple. La troisième est probablement la plus prometteuse, puisqu'elle repose sur un domaine de Dirichlet-Voronoi, défini uniquement à partir d'une métrique riemannienne normale homogène sur F_3(R). Ainsi, il est raisonnable d'attendre de cette méthode qu'elle se généralise aux autres variétés de drapeaux. Nous donnons quelques résultats préliminaires dans ce sens