Gelanggang bersih dan perluasannya

Misalkan  adalah suatu gelanggang dengan unsur satuan 1.Suatu unsur  disebut bersih jika , untuk suatu unit  di  dan suatu idempoten  di .  disebut gelanggang bersih jika setiap unsurnya adalah bersih. Gelanggang  disebut -gelanggang bersih jika setiap unsur di  dapat dinyatakan sebagai penjumlahan idempoten dan  unit di . Misalkan  adalah pusat gelanggang  dan  adalah polinom di pusat . Suatu unsur  di  disebut -bersih jika , di mana  adalah unit di  dan . Selanjutnya  disebut -gelanggang bersih jika setiap unsurnya adalah -bersih. Suatu unsur  di  disebut -bersih jika , di mana  adalah unit di  dan . Selanjutnya gelanggang  disebut -gelanggang bersih jika setiap unsurnya -bersih. Dalam artikel ini akan mengkaji beberapa gelanggang bersih, sifat-sifatnya, dan perluasannya.